Das ist leider nicht richtig.
Der Vermieter kann sogar fristlos kündigen, wenn man sich ohne Zustimmung einen Hund holt.
Wahrscheinlich meinst du den Vorgang, wenn der Hund noch nicht da ist und man den Vermieter um eine Genehmigung bittet. Das darf er nicht pauschal ablehnen.
Doch das ist richtig, es muss trotzdem eine Beeinträchtigung vorliegen und abgemahnt werden, und auch da ist es fraglich ob der Vermieter damit durchkommt.
Hier die Antwort von ChatGPT.
Das würde ja auch juristisch keinen Sinn machen, wenn er die Hundehaltung nicht ablehnen darf, aber gleichzeitig fristlos kündigen könnte, und sich dabei auf seine widerrechtlich Ablehnung berufen müsste.