Hey Julia, ich verstehe deine Sorgen total!
Die Katze meiner Eltern kam anfangs tagelang nicht heim, weil meine Hündin ihr zu stürmisch und somit zu unberechenbar war. Ich habe dann ganz intensiv darauf geachtet, dass die Katze sich nicht erneut überrollt und unwohl fühlen musste. Ich habe meine Hündin erst einmal an der Leine gelassen und mit ihr in Ruhe Garten und Haus inspiziert. Ich habe jedes ruhige und freundliche Verhalten gelobt und darauf geachtet, dass die Katze sich weiterhin sicher fühlte. Fütterung und Pflege fand für beide Tiere immer im geschützten und sicheren Rahmen statt. Wollte meine Hündin mal zur Katze, habe ich sie ein wenig umgelenkt und somit beiden geholfen sich freundlich zu verhalten und nicht bedroht zu fühlen.
Oft ist es hilfreich, sich dem aufgeregteren Tier zu widmen, um Ruhe in die Situation zu bringen und dem anderen Tier zu signalisieren, dass man aufpasst und keine Gefahr besteht.
Auch wenn es jetzt gut läuft, würde ich die beiden noch nicht unbeaufsichtigt lassen.
Trenngitter, Rückzugsorte, Hausleine und höhergelegene Plätze für die Katze sind von großem Vorteil.
Meine Empfehlung für deine Situation wäre, die zwei zunächst nicht alleine zu lassen und viel zu managen. Umso öfter dein Hund dem Kater hinterherrennt, umso mehr festigt sich dieses Verhalten auch. Nun ist es wichtig, zu lernen, dass man auch ruhig bleiben kann und der Kater eigentlich gar nicht so aufregend ist.
Dass dein Kater sich freundlich wehrt ist lieb von ihm. Ich würde da aber aufpassen, dass er selbst das nicht tun muss, sondern er eben bessere Auswege aus der Situation findet bzw. die Situation gar nicht erst zustande kommt.
Ich denke, du wirst noch eine Weile auf der Hut sein müssen, aber es wird ganz sicher immer angenehmer. Die zwei müssen sich ja erst besser kennen- und einschätzen lernen ;-)
Wenn dein Kater sich ausgeschlossen fühlt, dann schau, dass er bei euch sein kann, ohne dass es für den Welpen zu aufregend und für den Kater zu nah wird. Da könnte ein weiteres Trenngitter o.ä. von Vorteil sein. Beim Training kannst du ja beide einbinden (abwechselnd zum Beispiel) :)
Mein wichtigster Tipp wäre, stets ruhig zu bleiben und selbst keinen Stress in solche Situationen zu bringen. Klar, hat man mal Angst um das Wohlergehen seiner Schützlinge, aber von dieser sollte man sich nicht zu sehr einnehmen lassen. Am Ende wünscht man sich ja ein harmonisches Miteinander :)