Ein Geschenk gehört Dir und Du musst es nicht zurückgeben. Du brauchst aber Beweise und Indizien dafür. Bestenfalls Zeugen, dass sie Dir geschenkt wurde, und dass sie von Euch beiden als Dein Hund angesehen wurde, auch wenn beide sich gekümmert haben. Das ist aber die rein rechtliche Schiene.
So schwer es fällt, Ihr solltet zusammen eine friedliche Lösung finden. Das heißt, Gespräche führen, ohne Vorwürfe, ohne Ansprüche. Am besten mit neutralen Personen dabei, die nicht Partei ergreifen, und dafür sorgen, dass es sachlich bleibt.
Hängt er selbst sehr an Cookie oder will er Dich nur emotional treffen? Im ersten Fall könntet Ihr Zeiten für jeden vereinbaren. Vielleicht will er Cookie nur nicht ganz verlieren.
Fängst Du einen Rechtsstreit an, kann sich das sehr lange hinziehen und sehr hässlich werden. Es kann notwendig werden, aber wenn Du es vermeiden kannst, und auch anders zum Ziel kommen kannst, solltest Du das versuchen.