Leider ist das bei vielen Versicherungen so, das es 1 -3 Monate dauern kann. Dann müsstest du dir sonst eine Versicherung aussuchen die direkt mit deinem Arzt abrechnet und du nicht mehr in Vorkasse treten musst.
Es gibt TierärtInnen, die prinzipiell nicht mit Versicherungen abrechnen, sondern nur mit den Haltern. Das würde ich dann vorab mit dem Haustierarzt besprechen. Sonst bringt ein Wechsel in dem Sinne nichts.