Bei einem erwachsenen Hund würde man eine Ausschlussdiät machen, dann das alte wieder füttern, um zu testen, ob es auch wirklich am Futter liegt und nicht zB an Milben. Danach geht man wieder auf das Futter der Ausschlussdiät zurück und probiert langsam durch, was vertragen wird. Bei einem Welpen im Wachstum geht das natürlich nicht.
Was ich an eurer Stelle machen würde: achtet bei eurem Futter darauf mindestens eine Proteinquelle und eine Kohlenhydratquelle nicht zu füttern, damit ihr das im Erwachsenenalter noch machen könnt. Das gilt auch für Leckerli und Kaudinge.
Ansonsten würde ich ihn erstmal ankommen lassen und abwarten , bleibt beim vom Züchter empfohlenen Futter. Jetzt am Anfang muss er sich erst eingewöhnen und da können alle möglichen Symptome einfach vom Stress kommen.
Bluttests funktionieren nicht, da sie zum einen nicht auf Unverträglichkeiten reagieren und zum anderen nichts über die Stärke der Reaktion aussagen. Bei leichten Allergien kann es durchaus sein, dass der Hund nicht darunter leidet und keine Symptome ausgelöst werden. Von Allergietests durch Kot habe ich noch nicht gehört, klingt für mich aber unwahrscheinlich.
Im Zweifel gilt wie immer Tierarzt fragen, das könnt ihr ja machen, wenn ihr zum Impfen eh dort seid, damit er nicht doppelt hin muss