Er hat ja am Tag gute 4 Stunden auslauf
Auslauf in Form von Gassi? Oder nur Zugang zum Garten?
Ich kenne das von Tierschutzhunden schon häufiger, dass die gegen Begrenzungen durch Zaun oder Leine eher mal protestieren. Die gehen zwar gute und feste Verbindungen mit ihren Menschen ein, wollen aber partout nicht begrenzt werden.
Wenn es bei euch möglich ist, würde ich tatsächlich - in einer geeigneten Umgebung - beim Gassi, genau das Gegenteil mal ausprobieren und die Leine weglassen. Die wollen z. T. Beweisen, dass sie auch ohne Leine bei dir bleiben. Und du meintest ja, dass er nie weit weg ist und sich herrufen lässt.
Wenn der Test mit der Leine, die Vermutung bestätigt, dann würde ich meine Energie nicht daran verbrauchen, ihm was abzugewöhnen, sondern lieber dazu verwenden, ihm klar zu machen, dass der Zaun für ihn keine Begrenzung sein soll. (z. B. Indem du demonstrativ das Gartentor Tor offen lässt und ihn - unter deiner Aufsicht kaberbeher im Versteh beaufsichtigen) - die Freiheit des Rein- und Rausgehens erkunden lässt.)